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jueves, 31 de enero de 2013

Números amigos

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Dos números amigos son dos numeros enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par de naturales (220, 284), ya que:

Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.

Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.

Para aclarar dare un ejemplo el numero 220 tiene los siguientes divisores 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 sin contar el 220.Si sumamos dichos numeros la suma nos da 284.Ahora los divisores del 284 son 1,2,4,71,142 y su suma da 220,por esta razon decimos q estos numeros son amigos


Fermat también descubrió una regla general (también conocida por un matemático árabe Ibn Qurra):

Si q = 3·2 p-1-1; r = 3·2 p - 1; s = 9·2 2p-1-1 son números primos, entonces 
n = 2 p ·q·r y m = 2 p ·s son números amigos


220 corresponde a los valores de p = 2; q = 5 y r = 11 
284 corresponde a los valores de p = 2; s = 71

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